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Four Tac Toe(또는 4차원 틱택토)는 어린 시절 즐기던 고전 게임의 변형입니다. 일반적인 틱택토가 3x3 격자에서 진행되는 것과 달리, Four Tac Toe는 3x3 격자 9개를 3x3 형태로 배열해 만든 4차원 3x3x3x3 보드에서 진행됩니다. 목표는 가능한 한 많은 3칸 직선을 완성하는 것입니다.
플레이어들은 번갈아 가며 9개의 보드 중 하나의 한 칸에 X 또는 O를 놓습니다. 단, 가운데 보드의 중앙 칸은 어느 플레이어도 차지할 수 없습니다.
플레이어는 9개 보드 어디에서든 네 차원 중 하나를 따라 3칸으로 이루어진 선을 완성하면 점수를 얻습니다. 모든 칸이 채워졌을 때 점수가 가장 높은 플레이어가 승리합니다.
Four Tac Toe에는 점수를 얻을 수 있는 선이 총 232개 있습니다. 각 선은 1점이며, 한 번의 차례에 여러 선을 동시에 완성하면 여러 점을 얻을 수 있습니다.
선이란 일직선으로 이어진 세 칸을 말합니다. 선은 가로, 세로, 대각선 또는 이들의 조합으로 이어질 수 있으며, 같은 방향을 유지한다면 여러 보드를 가로지를 수도 있습니다.
일반적으로 유효한 선은 특정 칸에서 시작해 여러 차원 중 원하는 방향으로 칸이나 보드를 한 번에 한 단계씩 같은 방식으로 이동해 만들 수 있습니다. 예를 들어 "칸 하나 왼쪽, 보드 하나 위쪽"이라는 이동은 선을 이룹니다. "칸 하나 위쪽, 칸 하나 오른쪽, 보드 하나 오른쪽"도 마찬가지입니다. 무엇이 선이고 무엇이 아닌지 판단할 때 이 원칙을 참고하세요.
예시 1: 서로 다른 네 개의 선이 완성되어 있습니다. 빨간 원 선은 항상 오른쪽으로 한 칸 이동합니다. 파란 사각형 선은 한 칸 위 또는 아래로 이동합니다. 노란 별 선은 한 칸 아래로 이동한 다음 보드 하나 아래로 이동합니다. 초록 삼각형 선은 한 칸 위로 이동한 다음 보드 하나 오른쪽으로 이동합니다.
예시 2: 왼쪽 아래 모서리의 칸을 통과하는 모든 선이 서로 다른 색과 기호로 표시되어 있습니다. 모든 선의 이동 규칙을 찾아낼 수 있나요?
칸에 마우스를 올리면 게임에서 해당 칸을 통과하는 모든 선을 서로 다른 색과 기호로 표시해 쉽게 확인할 수 있습니다. 빈 칸이나 내가 차지한 칸에 마우스를 올리면 내가 그 칸을 차지했을 때 완성할 수 있는 선만 강조 표시됩니다. 상대가 차지한 칸에 마우스를 올리면 상대가 해당 칸을 포함해 완성할 수 있는 선만 강조 표시됩니다. 어느 플레이어도 완성할 수 없거나 이미 완성된 모든 선은 제외됩니다.
가운데 보드의 중앙에 있는 칸은 두 플레이어 모두 사용할 수 없으며 차지할 수 없습니다. 이는 게임의 균형을 위한 조치입니다. 중앙 칸을 통과하는 선은 무려 40개이며 다른 모든 칸을 포함합니다. 따라서 중앙 칸을 차지한 플레이어가 항상 큰 차이로 승리하게 됩니다.
이 절에서는 게임이 작동하는 원리를 직관적으로 이해할 수 있도록 관련된 기하학을 간단히 살펴봅니다. 하지만 여기까지 읽었다면 이제 게임을 시작하기에 충분히 이해했을 것입니다.
보드와 선이 어떻게 작동하고 서로 상호작용하는지 직관적으로 이해하는 일은 매우 복잡하게 느껴질 수 있습니다. 하지만 실제로 이 게임은 틱택토를 4차원으로 확장한 것일 뿐이며, 2차원 버전을 지배하는 원리가 여기에도 똑같이 적용됩니다. 익숙해지려면 약간의 연습이 필요하지만, 몇 판만 해 보면 선이 어떻게 만들어지고 어떻게 찾아내는지 감을 잡을 수 있습니다.
그러나 기하학을 좋아하는 사람이라면 보드의 작동 방식을 머릿속에 그려 보는 일이 의외로 쉽고 우아하다는 것을 알 수 있습니다. 먼저 1차원 선부터 살펴보겠습니다.
1차원에서 게임은 세 칸으로 이루어진 선일 뿐입니다. 그다지 흥미롭지 않고 게임으로도 형편없지만, 다른 모든 것의 기초가 됩니다.
2차원에서는 세 행, 세 열, 두 대각선으로 이루어진 고전적인 3x3 격자를 사용하며, 총 8개의 선이 있습니다. 하지만 2차원 격자는 1차원 선 세 개를 위아래로 쌓아 만든 격자라고 볼 수 있습니다. 세 개의 1차원 선에는 여전히 각각 하나의 선이 있지만, 이제 세로 또는 대각선으로도 선을 만들 수 있어 틱택토 보드에서 유효한 선은 총 8개가 됩니다.
한 단계 더 나아가 3개의 3차원 격자를 위로 쌓으면 정육면체가 됩니다! 정육면체는 3x3 격자를 3차원으로 확장한 것입니다. 정육면체를 이루는 각 2차원 보드에는 여전히 8개의 선이 있지만, 이제 정육면체 자체를 관통하는 선도 만들 수 있습니다. 곧장 아래로 이어지거나, 모서리에서 모서리로 이어지거나, 한 변에서 다른 변까지 대각선으로 가로지르는 선 등이 있습니다. 정육면체에서 틱택토를 플레이하는 방법은 쉽게 생각할 수 있습니다. 미니 정육면체 세 개를 일렬로 칠한 플레이어가 승리합니다!
아래 예시들은 모두 같은 정육면체에서 같은 직선을 색칠한 모습을 보여 줍니다. 그중 하나는 정육면체를 3개의 2차원 격자로 표현하면 어떻게 보이는지 참고할 수 있도록 2차원 격자 세 개만 표시했습니다.
잠시 살펴보세요. 이제 목적지인 4차원으로 가기 위해 상당히 큰 도약을 할 테니까요.
여기서부터 조금 어려워집니다. 우리는 3차원에 한정된 존재이므로 네 번째 차원이나 이제 만들 초입방체를 시각화할 수 없기 때문입니다. 그래도 한번 시도해 봅시다!
3개의 3차원 정육면체를 위로 쌓으면 초입방체가 됩니다. 초입방체는 지금까지 살펴본 개념을 4차원으로 확장한 것입니다. 시각화할 수는 없지만 이전과 같은 원리를 적용하면 선이 어떻게 작동하는지 이해할 수 있습니다. 초입방체를 이루는 각 3차원 정육면체에는 기존의 49개 선이 있고, 이제 초입방체 자체를 관통해 여러 정육면체를 가로지르는 선도 만들 수 있습니다.
패턴을 시각화하기는 쉽지 않지만 원리는 여전히 같습니다. 먼저 선을 만들고, 선 세 개를 쌓아 격자를 만듭니다. 격자를 세 개 복사해 정육면체를 만들고, 정육면체 세 개를 쌓아 초입방체를 만듭니다. 모든 단계에서 같은 원리가 적용되며, 이전 차원에서 선을 만들었던 이동 패턴은 다음 차원에서도 여전히 선을 만듭니다. 다만 더 많은 차원에 걸쳐 적용해야 할 뿐입니다.
초입방체를 화면에 그리는 것은 좋은 게임이 되기 어렵지만, 물론 전체를 납작하게 펼쳐 9개의 격자로 만들면 됩니다. 어떤 칸이 어디와 연결되는지 정해진 규칙만 지키면 결과는 같습니다.
이렇게 해서 우리는 다시 2차원으로 돌아왔습니다. 정육면체를 틱택토 보드 세 개로 표현할 수 있었던 것처럼, 4차원 경기장은 3x3으로 배열된 9개의 보드로 표현됩니다. 원한다면 이 개념을 5차원, 6차원 또는 원하는 어떤 차원으로든 확장할 수 있습니다. 하지만 9개의 보드만으로도 상대하기에 충분히 많습니다.... 적어도 지금은요.
Four Tac Toe는 실제로 재미있는 게임으로서의 가치보다 4차원 틱택토라는 아이디어가 더 흥미로워서 만들어진 조금 별난 게임입니다. 그렇다고 해도 고전적인 틱택토를 크게 발전시킨 게임이라고 생각합니다. 도전적이고 숙달하는 데 시간이 걸리며, 다양한 컴퓨터 상대가 있어 누구에게나 즐거운 도전이 될 것입니다.
저희의 작은 실험을 즐겨 주시길 바랍니다. 언제나 그렇듯 제안, 의견 또는 버그 제보가 있다면 알려 주세요! (다차원 틱택토의 수학에 대해 이야기하고 싶은 것뿐이어도 환영합니다.)
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